Quatre applications du lemme de Zalcman à la dynamique complexe

Proposition 2.4. La suite $\{\psi_k\}_{k\geq 0}$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}$ vers une application entière $\psi$ telle que $\psi'(0) = 1$ et $\psi(0) = x_0$ . Démonstration. D'abord on montre qu'il existe un $\delta > 0$ tel que $\psi_k | \mathbb{D}(\delta)$ est univalente pour tout $k \in \mathbb{N}$ : comme $|(f^p)'| \geq \mu_0 > 1$ sur $X_0$ , il existe un $\delta_0 > 0$ tel que $f^p|\mathbb{D}(x,\delta_0)$ soit univalente et $\mathbb{D}(f^p(x),\delta_0) \in f^p(\mathbb{D}(x,\delta_0))$ pour tout $x \in X_0$ . Il existe donc une application inverse $h_k: \mathbb{D}(a_{m(k)},\delta_0) \to \mathbb{C}$ de $\psi_k = f^{m(k)} \circ T_{m(k)}$ telle que $h_k$ soit univalente et $h_k(a_{m(k)}) = h'_k(a_{m(k)}) - 1 = 0$ . Par le théorème du quart de Koebe, $\mathbb{D}(\delta_0/4) \subset h_k(\mathbb{D}(a_{m(k)},\delta_0))$ . Soit $\delta := \delta_0/4$ . Alors la famille $\{\psi_k|\mathbb{D}(\delta)\}_{k\geq 0}$ est univalente, donc uniformément bornée sur tout l'ensemble compact par un théorème de Koebe (voir $[\mathrm{Du}, \S 2.3]$ ). En particulier, la famille est équicontinue. Ensuite on montre que la famille $\{\psi_k\}_{k\geq 0}$ est normale sur $\mathbb{C}$ : soit $G_{N,j}:=T_{m(N)}^{-1}\circ f^{m(N+j)-m(N)}\circ T_{m(N+j)}$ pour que $\psi_{N+j}=\psi_N\circ G_{N,j}$ . En utilisant le théorème du quart de Koebe encore une fois, on voit que $G_{N,j}$ est univalente sur $\mathbb{D}(\delta|\lambda_{m(N)}|)$ . Posons $$w_{N,j} := G_{N,j}(0) = h_N \circ \psi_{N+j}(0) = h_N(a_{m(N+j)}).$$ Comme $h_N$ est univalente sur $\mathbb{D}(a_{m(N)}, \delta_0)$ avec $h'_N(a_{m(N)}) = 1$ pour tout N, et comme $\{a_{m(k)}\}_{k\geq 0}$ est de Cauchy, on obtient $w_{N,j} \to 0$ quand $N \to \infty$ . Soit $\tilde{G}_{N,j}(w) := G_{N,j}(w) - w_{N,j}$ . Alors $\tilde{G}_{N,j}$ est univalente sur $\mathbb{D}(\delta|\lambda_{m(N)}|)$ , et on a $\tilde{G}_{N,j}(0) = \tilde{G}'_{N,j}(0) - 1 = 0$ . On prend un r > 0 arbitrairement grand. Par un théorème de Koebe (voir [Du, §2.3]), on a $|\tilde{G}'_{N,j}(w) - 1| \leq C|w|/|\lambda_{m(N)}|$ sur $\mathbb{D}(r)$ , où $C = C(\delta, r)$ est une constante indépendante de N assez grand. Alors on a $\tilde{G}_{N,j}(w) = w + O(r^2/|\lambda_{m(N)}|)$ , donc $G_{N,j}(w) = w + O(r^2/|\lambda_{m(N)}|) + O(|a_{m(N+j)} - a_{m(N)}|)$ . En particulier, si N est assez grand, on a $G_{N,j}(\mathbb{D}(r)) \subset \mathbb{D}(2r)$ . Soit $R = R(r,N) = \max\{|\psi_N(w)| : |w| \leq 2r\}$ . Alors $$\psi_{N+j}(\mathbb{D}(r)) = \psi_N(G_{N,j}(\mathbb{D}(r))) \subset \mathbb{D}(R)$$ pour tout $j \in \mathbb{N}$ . Puisque la famille $\{\psi_k\}_{k\geq 0}$ est uniformément bornée sur tout compact de $\mathbb{C}$ , la famille $\{\psi_k\}_{k\geq 0}$ est normale sur $\mathbb{C}$ . Supposons que $w \in \mathbb{D}(\delta)$ . Alors $G_{N,j}(w) \to w$ uniformément sur $\mathbb{D}(\delta)$ quand $N \to \infty$ . Comme $|\psi_{N,j}(w) - \psi_N(w)| = |\psi_N(G_{N,j}(w)) - \psi_N(w)| \to 0$ quand $N \to \infty$ et comme $\{\psi_N\}$ est équicontinue pour tout N sur $\mathbb{D}(\delta)$ , la suite $\{\psi_k|\mathbb{D}(\delta)\}_{k\geq 0}$ est de Cauchy. Ainsi la limite $\psi = \lim \psi_k$ avec $\psi'(0) = 1$ et $\psi(0) = x_0$ existe, et elle est entière par normalité de $\{\psi_k\}_{k\geq 0}$ sur $\mathbb{C}$ . Posons $n_k := m(k) + l$ , $\rho_k := 1/(f^{n_k})'(c_0)$ . $\phi_k(w) := f^{n_k}(c_0 + \rho_k w)$ , et $A_0 := (f^l)'(c_0) \neq 0$ . On a alors $A_0 \lambda_{m(k)} = 1/\rho_k$ et $$f^{l}(z) = a_0 + A_0(z - c_0) + o(z - c_0),$$ donc $$\phi_k(w) = f^{m(k)}(a_0 + A_0 \rho_k w + o(\rho_k)) \rightarrow \lim \psi_k(w) = \psi(w)$$ uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}$ . Soit $\phi := \psi$ . Pour montrer le Lemme 2.1(2), on utilise la stabilité dynamique de l'ensemble hyperbolique $X_0$ (voir [Shi, §1]) : Proposition 2.5 (Mouvement holomorphe de $X_0$ ) Il existe un voisinage U de $c_0$ dans $\mathbb{C}$ tel qu'on ait un mouvement holomorphe dynamique $\chi: X_0 \times U \to \mathbb{C}$ : - pour tout point $x \in X_0$ , $\chi(x, c_0) = x$ ; - pour tout point $x \in X_0$ fixé, l'application $\chi^x : c \mapsto \chi(x,c)$ est holomorphe; et - pour tout paramètre $c \in U$ fixé, l'application $\chi_c : x \mapsto \chi(x,c)$ est quasiconforme telle que $f_c \circ \chi_c = \chi_c \circ f_{c_0}$ sur $X_0$ . Par exemple, si $c_0 \in \partial M$ est Misiurewicz, $\chi_c(X_0)$ est un cycle répulsif de $f_c$ . Dans ce cas, la fonction de Poincaré de chaque point périodique dans $\chi_c(X_0)$ dépend holomorphiquement de c. Plus généralement, si $c_0 \in \partial M$ est semi-hyperbolique, on a : Lemme 2.6 Pour $c \in U$ , le voisinage de $c_0$ ci-dessus, posons $a(c) := \chi_c(a_0)$ , $\lambda_m(c) := (f_c^m)'(a(c))$ $(m \in \mathbb{N})$ , et soit $\{m(k)\}_{k \in \mathbb{N}} \subset p\mathbb{N}$ la suite trouvée dans la démonstration du Lemme 2.1, (1) telle que $\phi(w) = \lim_k f_{c_0}^{m(k)}(a_0 + w/\lambda_{m(k)}(c_0))$ . Alors la suite $\psi_{m(k)}^c(w) := f_c^{m(k)}(a(c) + w/\lambda_{m(k)}(c))$ converge vers une fonction méromorphe $\phi^c(w)$ uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}$ . En plus, on a $\phi^{c_0} = \phi$ , et si on fixe $w \in \mathbb{C}$ , l'application $c \mapsto \phi^c(w)$ est holomorphe en $c = c_0$ . Démonstration. On peut supposer que le voisinage U est assez petit tel que $\lambda_m(c) \ge \kappa(1+\eta)^m$ pour tout $c \in U$ et $m \in \mathbb{N}$ . Soit $\{m(k)\}_{k \in \mathbb{N}}$ la suite de la démonstration du Lemme 2.1(1) avec $a_{m(k)} \to x_0$ $(k \to \infty)$ . Par la conjugaison $f_c \circ \chi_c = \chi_c \circ f_{c_0}$ sur $X_0$ de Proposition 2.5, on a aussi $f_c^{m(k)}(a(c)) \to \chi_c(x_0)$ $(k \to \infty)$ sur $\chi_c(X_0)$ . De la même façon que dans la démonstration du Lemme 2.1(1), on peut montrer la convergence de $\{\phi_{m(k)}^c\}_{k \in \mathbb{N}}$ sur $\mathbb{C}$ et que la fonction $c \mapsto \phi^c(w)$ est holomorphe sur U pour chaque $w \in \mathbb{C}$ . Démonstration du Lemme 2.1, (2). On pose $c := c_0 + Q\rho_k w$ avec une constante $Q \in \mathbb{C}^*$ . On pose aussi $\Phi_k(w) := f_c^{n_k}(c) = f_c^{m(k)+l}(c)$ et $b(c) := f_c^{l}(c)$ . Par [RL, Appendix 2] (ou [vS, Thm.1.1]), on a $b(c) - a(c) = B_0(c - c_0) + o(c - c_0)$ avec $B_0 \neq 0$ . En utilisant $\rho_k^{-1} = A_0 \cdot \lambda_{m(k)}(c_0)$ , on a ainsi $$b(c) = a(c) + B_0 Q \rho_k w + o(\rho_k) = a(c) + \frac{B_0 Q}{A_0} \cdot \frac{\lambda_{m(k)}(c)}{\lambda_{m(k)}(c_0)} \cdot \frac{w}{\lambda_{m(k)}(c)} + o(\rho_k).$$ On prend ici $Q := A_0/B_0$ . Comme $X_0$ est compact avec $0 \notin X_0$ , on a $|f'_c(\chi_c(x))/f'_{c_0}(x) - 1| = O(c-c_0)$ uniformément pour tout $x \in X_0$ , donc quand $m = m(k) \to \infty$ , on obtient $$\log \frac{\lambda_m(c)}{\lambda_m(c_0)} = \sum_{i=0}^{m-1} \log \frac{f_c'(f_c^i(a(c)))}{f_{c_0}'(f_{c_0}^i(a(c_0)))} = m \cdot O(c - c_0) = O\left(\frac{m}{\lambda_m(c_0)}\right) \to 0.$$ (Rappelons que $X_0$ est hyperbolique, puis $|\lambda_m(c_0)| \geq \kappa(1+\eta)^m$ .) Puisque $\Phi_k(w) = f_c^{m(k)}(b(c))$ et que $\lim_{c\to c_0} \phi^c(w) = \phi(w)$ uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}$ , on obtient $$\lim_{k \to \infty} \Phi_k(w) = \lim_{k \to \infty} f_c^{m(k)} \left( a(c) + \frac{w}{\lambda_{m(k)}(c)} + o(\rho_k) \right) = \phi(w).$$ Remarque. Si on démontre les convergences $\phi_k \to \phi$ et $\Phi_k \to \phi$ juste sur un disque, la démonstration est plus facile. En fait, $\phi'_k(0) = 1$ et on peut utiliser la normalité des fonctions univalentes sur $\mathbb{D}(\delta)$ . On a alors une version faible du Lemme 2.1(1). Remarquons que la Proposition 4.3 ([Ha], [MM]) est une généralisation de cette version faible.

Proposition 3.7. Les polynômes quadratiques $f_c(z) = z^2 + c$ infiniment renormalisables satisfont la condition (\*). Donc on a $\mathcal{A}^{\mathcal{LM}} = \mathcal{A}^{\mathcal{Z}}$ . Démonstration. Supposons que $f(z) = z^2 + c$ est infiniment renormalisable. Comme tout les points périodiques de f sont répulsifs et l'ensemble post-ctirique P ne contient pas les points périodiques (voir [Mc1, Thm. 8.1]), il existe un voisinage U du point fixé répulsif $\beta \in J$ de f avec $U \cap P = \emptyset$ . Donc il existe un $n \in \mathbb{N}$ tel que $J \subset f^n(U)$ . Pour $z_0 \in J$ , s'il existe un $w_0 \in U$ tel que $f^n(w_0) = z_0$ et $(f^n)'(w_0) \neq 0$ , alors $w_0 \in UGO(z_0) - P$ . Sinon $f^n(w_0) = z_0$ et $(f^n)'(w_0) = 0$ . Dans ce cas il y a un entier $k \leq n$ tel que $z_0$ est l'image du point critique z = 0 par $f^k$ . On peut alors trouver une renormalisation $g = f^p|_{V'}: V' \to V$ avec $z_0 \in V' \subseteq V$ , dont le petit ensemble de Julia $J_0 = \bigcap_{j\geq 0} g^{-j}(V) \subsetneq J$ satisfait $f^p(J_0) = J_0$ ; $z_0 \in J_0$ ; et $P \subset \bigcup_{i=1}^p f^i(J_0)$ . (Voir par exemple [Mc1, §10.1].) Alors $J_0$ ou $f(J_0)$ ne contient pas la valeur critique f(0) = c, et il existe un des composantes L de $f^{-1}(J_0)$ ou $f^{-1}(f(J_0))$ tel que $L \neq f^i(J_0)$ $(1 \leq i \leq p)$ et $L \cap P = \emptyset$ . Donc on peut trouver un $z'_0 \in L$ avec $f(z'_0) = z_0$ ou $f(z'_0) = f(z_0)$ , et $z'_0 \in UGO(z_0) - P$ .